Descubriendo a Pi

-        ¿Sabías que el número Pi tiene infinitas cifras?

-        ¿Qué? ¿Y cómo o reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco dañina se afirme algo así, tan atrevido...

Efectivamente, Pi tiene infinitas cifras y si prestás atención a la frase pintada de azul, verás que la cantidad de letras de cada palabra coincide con las primeras 27 cifras de Pi

Además, Pi no tiene ninguna secuencia de números que se repita periódicamente, como tienen todos los números fraccionarios, por ejemplo en

43/28= 1.53571428571428571428571428571...

la secuencia de números 571428 se repite periódicamente.

Dado que  Pi no es fraccionario, no tiene secuencias periódicas y esto hace que no sea tan simple calcular sus cifras. En tiempos de Arquímedes (200 AC) ya se conocían las 3 primeras cifras de Pi, en el siglo XVII se conocían más de 30 cifras y hoy se conocen más de 10¹² cifras.

¿Cómo se hace para calcular las cifras de Pi? ¿Cómo estamos tan seguros que la novena cifra de Pi es 5 o que la décima tercera es 9?

Un método para calcular Pi

Pi es la proporción que hay entre la longitud de una circunferencia y su diámetro; en otras palabras p es la longitud que tiene una circunferencia cuyo diámetro es 1 (esto es lo que ilustra la Figura 1).

Por lo tanto, el método más intuitivo para calcular Pi es:

- trazar una circunferencia (C) de diámetro (D) = 1,

- trazar un polígono (P) interior a C, y calcular su perímetro, que llamaremos p,

- trazar otro polígono (Q) exterior a C y calcular su perímetro, que llamaremos q.

De este modo Pi será un número que estará entre p y q.

En la Figura 2, P y Q tienen 7 lados y calcular sus perímetros no es tan sencillo. En cambio en la Figura 3, P y Q son cuadrados y aquí es sencillo calcular sus perímetros. El lado de Q mide igual que el diámetro de C, es decir 1, y por lo tanto su perímetro es q = 4. Por otro lado, el lado de P es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto es el radio de C, es decir 0,5. Por el Teorema de Pitágoras sabemos que el lado de P mide  y por lo tanto el perímetro de P es .

Esto nos dice que Pi está entre 2,828... y 4, lo cual no es una muy buena aproximación, pero es el primer paso.

Perímetros de P y Q cuando tienen muchos lados

Sin dudas sería mejor utilizar polígonos de la mayor cantidad de lados posible y esto es sencillo gracias a dos fórmulas que nos permiten calcular perímetros de polígonos de 2n lados sabiendo el perímetro de polígonos de n lados. Es decir que, como ya sabemos los perímetros de los cuadrados P y Q (que son polígonos de 4 lados), podremos calcular el perímetro de polígonos de 8 lados, y luego de 16 lados y así sucesivamente.

La fórmula es la siguiente. Recordemos que C es una circunferencia de diámetro 1 y supongamos que, como en la Figura 4,

- P(n) es un polígono de n lados interior a C y que su perímetro es p(n),

- Q(n) es un polígono de n lados exterior a C y que su perímetro es q(n).

Por ejemplo, ya dijimos que p(4) = 2,828... y q(4) = 4.

La fórmula que nos permite calcular p(2n) y q(2n) es la siguiente:

Apliquemos esta fórmula para calcular los perímetros de los polígonos interior y exterior de 8 lados:

Ahora sabemos que  Pi está entre 3,0615... y 3,3137..., lo cual sigue sin ser una buena aproximación, pero si seguimos aplicando la fórmula para calcular el perímetro de polígonos de muchos lados, obtendremos toda la precisión que deseemos. A este trabajo lo podemos hacer con una planilla de cálculo.

 Una planilla de cálculo nos ayuda a obtener las cifras de Pi 

En una planilla ingresamos en la Fila 1 los rótulos n, p(n), q(n) y q(n) – p(n) (la cuarta columna nos indicará la diferencia entre los perímetros externos e internos). En la Fila 2 ingresamos los valores iniciales y en la Fila 3 ingresamos las fórmulas.

Luego seleccionamos la Fila 3 y la arrastramos hacia abajo. Las fórmulas se copiarán respetando las celdas relativas. Obtendremos la siguiente tabla:

 La última fila de esta tabla corresponde a polígonos de 16.777.216 lados y dice que Pi está entre

3,14159265358977... y 3,14159265358983..., lo que asegura que las cifras 3,141592653589 son verdaderamente las primeras 13 cifras de Pi .

 Otra forma muy famosa de calcular Pi 

Por supuesto que hay muy diferentes formas de calcular Pi y, para cerrar esta nota, elegimos una manera muy curiosa, aunque menos intuitiva que la anterior, que está basada en la siguiente fórmula atribuida al matemático alemán Gottfried von Leibniz (1646-1716):

Esta fórmula dice que para obtener Pi hay que empezar con 4 y quitarle 4/3, luego agregarle 4/5, luego quitarle 4/7, y así sucesivamente. Es llamativo que Pi se pueda obtener con esta fórmula que pareciera (erróneamente) no tener nada que ver con longitudes de circunferencias.

* Por Leandro Cagliero, investigador adjunto de CONICET en el Centro de Investigaciones y Estudios de Matemática de Córdoba (CIEM, CONICET-UNC)